人类已知最大素数纪录,刚刚被打破!
答案就是——2136279841-1。
更了不得的是,这个素数是英伟达GPU发现的。
一位「梅森素数猎手」、英伟达前员工,通过自己收集的大量高性能显卡,找到了这个4100万位的最大素数。比起2018年发现的上一个梅森素数,它整整长出1600万位。
这也是史上首个使用GPU找到的梅森素数。
这个素数,终结了个人电脑在发现最大素数上的28年统治。(GIMPS项目之前的所有发现,都是由相对简陋的个人计算机中的CPU完成的。)
所以,发现最大素数,究竟有什么用呢?
帝国理工学院教授数学系教授Kevin Buzzard告诉我们:没有。
是的,这个发现目前完全没有实际应用,但很多数学研究起初都是如此。
现在,最大素数可能没有用,但很可能将来某一天有人会发现它的用途。到那时他们会问数学研究界:「那么,你们的最大素数在哪里?」而数学家们会回答:「其实我们已经研究这个问题几十年了……」
不过,这次做出这一发现的英伟达前员工,还是获得了一点小小的好处——3000美元的奖励。
让位吧,282589933-1,现在新的素数霸主诞生了。(这个新素数/质数也被称为 M136279841)
英伟达前员工Luke Durant发现的2136279841-1,比这位多年纪录保持者多出1600万位!
GIMPS激动地表示,这次发现不仅归功于Luke Durant,还要感谢软件开发者和服务器维护者,以及成千上万筛选了数百万非素数的GIMPS志愿者。荣誉属于大家!
为表彰以上所有人员,此次荣誉归于「L. Durant、M. Preda、G. Woltman、A. Blosser等人」
素数是什么?就是只能被1和自身整除的正整数。
这样的数字有2、3、5、7、11……以及2136279841-1。
2136279841-1,是由2相乘136279841次,然后减去1得到的。它是已知的第52个梅森素数。
长期以来,素数一直令数学家们着迷。梅森素数是一种形如2P-1的素数。
最早的梅森素数是3、7、31和127,分别对应P=2、3、5和7。现在已知的梅森素数有52个。
在大约公元前350年,欧几里得首次讨论梅森素数以来,它们一直是数论的核心。
17世纪初,法国修士马林·梅森(Marin Mersenne)提出了一个著名的猜想:哪些P值会产生素数?
为了解决梅森猜想,数学家们花费了300年,还由此诞生了几个重要发现。
有趣的是,梅森的猜想随后被证明不完全正确
欧几里得证明了每个梅森素数都能生成一个完全数。完全数是其所有真因数之和等于该数本身的数。最小的完全数是6=1+2+3,第二个完全数是28=1+2+4+7+14。
欧拉则证明了所有偶完全数都来自梅森素数。新近发现的完全数是2136279840 x (2136279841-1)。这个数字超过了8200万位!
不过,目前尚不清楚是否存在奇完全数。
2000多年后,Durant为了寻找这个数字,使用了一台分布在17个国家、由数千个GPU组成的超算。
在爱尔兰的A100计算发现,2136279841-1很可能是素数;紧接着,在德克萨斯州的H100进行了确认。
寻找梅森素数的项目,叫做梅森素数大搜索(GIMPS,也即Great Internet Mersenne Prime Search)。
GIMPS成立于1996年,发现了最近的18个梅森素数。
历年发现的梅森素数
这个科研项目背后是一个慈善机构在支持,任何拥有强大的PC或GPU的人,都可以自愿加入成为志愿者——「梅森素数猎人」。
猎人们可以下载一个免费程序来搜索这些素数,任何找到新素数的幸运儿,都将获得3000美元奖励。
GIMPS发现的素数,是用费马可能素数测试来识别的。
然后一旦GIMPS服务器收到可能是素数的通知,就会使用不同程序在不同硬件上运行多个确定性的卢卡斯-莱默素性检验法(Lucas–Lehmer primality test),来进行严格验证。
目前,可能存在尚未发现的较小梅森素数,并且几乎可以肯定,存在等待被发现的更大梅森素数。
就如开头所言,GIMPS在做的事情究竟有什么意义?目前还很难说,因为大梅森素数的实际用途可以说是几乎没有。
这种质疑从几十年前就开始存在,直到后来,人们基于素数开发出了重要的密码算法。
梅森素数猎人们主要是寻找刺激感,因为寻找素数的过程相当于数学和计算机科学的基础研究。这个过程也证明了云超算的能力。
另外,别看这次的3000美元奖励不多,但第一个一亿位数的素数将获得150,000美元的奖金,而到了第一个十亿位数的素数,奖金将升至250,000美元!
各位GPU富人,你们可以行动了。
在GIMPS中,36岁的研究员、英伟达前员工Luke Durant,是最活跃的志愿者之一。
此前的猎人们,发现最大素数都是用的CPU。
在2017年,一位叫Mihai Preda的猎人感受到了GPU的巨大潜力,编写了GpuOwl程序用来测试梅森数,并且把软件向所有GIMPS用户开放。
Luke Durant对于GPU的巨大能量一直心知肚明。他认为,如果能找到新的梅森素数,就能证明GPU不仅可以用于AI,也适合于基础数学和科学研究。
从23年10月,Luke开始为GIMPS做贡献,彼时云中GPU可用性的爆炸性增长,为Mihai的软件提供了独特的机会。
于是,Luke干脆开发了一套「云超算」,在多个GPU服务器上运行和维护一套GIMPS软件。
最终,这台云超算跨越了17个国家的24个数据中心,由成千上万个服务器GPU组成。
经过近一年的测试,他成功了!
10月11日,爱尔兰都柏林的一台A100 GPU报告称:2136279841-1可能为素数。
10月12日,美国德州的一台H100通过Lucas-Lehmer测试,确认了它为素数。
1996年1月,大梅森素数搜索项目(GIMPS)由George Woltman成立。
1997年,Scott Kurowski使GIMPS能够自动利用数千台普通计算机,来搜索「稀有的数学瑰宝」。
GIMPS是世界上寿命最长的分布式项目之一。
它最初的软件仅在英特尔PC上运行。几年后,Ernst Mayer编写了一个可以在多种非英特尔处理器上运行的程序。这个程序在独立验证几乎每一个GIMPS素数方面,都发挥了重要作用。
十年前,专为GPU设计的软件诞生。几年后,Mihai Preda的突破性gpuowl程序问世。现在,GIMPS可提供适用于各种CPU和GPU的完整程序套件。
GIMPS项目背后的算术算法也有着独特历史。此次发现2136279841-1的程序,就是基于一种特殊的算法。
1990年代初期,已故的苹果科学家Richard Crandall发现了一种方法,可以将卷积(本质上是大规模乘法运算)的速度提高一倍。
这种方法不仅适用于素数搜索,还适用于其他方面。
为此,Crandall申请了快速椭圆加密系统的专利,利用梅森素数快速加密和解密信息,现由苹果拥有。
George Woltman用汇编语言实现了Crandall的算法,从而产生了一个前所未有高效的素数搜索程序,奠定了所有成功GIMPS项目的基础。
人们对这于些数学宝藏的追寻,始于公元前300年左右。
当时,欧几里得想要在他的《几何原本》中描述偶完全数。他意识到偶完全数都与某个素数p形式为2ᴾ-1的素数密切相关(现在称为梅森素数)。
随后,Cataldi、笛卡尔、费马、梅森、Frenicle、莱布尼茨、欧拉、Landry、Lucas、Catalan、Sylvester、Cunningham、Pepin、Putnam和Lehmer(仅举几例)依时间先后研究了大素数。
我们怎能不加入这样一个杰出团体呢?
在决定如何处理大数、如何描述其因子以及发现素数的过程中,很多初等数论都得到了发展。
简而言之,探索大素数(尤其是梅森素数)的传统由来已久,硕果累累,值得继承。
对美国来说,第一个将人类送上月球具有重大的政治价值,但对社会最具持久价值的是其衍生成果。
比如,为太空探索开发的新技术和材料,如今已成为日常用品;而教育基础设施的改进,让很多人成为了职业科学家和工程师。
寻找下一个创纪录的素数,也是如此。
刚刚提到的那些数学巨匠(如欧几里得、欧拉和费马),都在探索过程中为初等数论留下了伟大的定理(如费马小定理和二次互反律)。
随着时间推移,人们需要找到一种更新、更快的大整数乘法方法。
1968年,Strassen发现了如何使用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)进行快速乘法运算。1971年,他和Schönhage对方法进行了完善,并成功发表。如今,GIMPS使用的是Richard Crandall开发的改进版算法。
梅森搜索也被教师用来激发学生的研究兴趣。
而这些,仅仅是这项搜索带来的部分衍生成果。
梅森素数,通常是已知的最大素数,既珍稀又优美。
自从欧几里得在大约公元前300年开始寻找和研究梅森数以来,发现的还不到50个——这确实称得上珍稀!
同时,它们也很优美。
数学,像所有研究领域一样,有着明确的美学标准。我们寻找那些简短、简洁、清晰的证明,如果可能的话,还要能够将之前不相关的概念结合起来或教会你一些新东西。
梅森素数拥有最简单的素数形式之一:2ⁿ - 1。其素数证明优雅而简洁。
当然,除了这些之外,梅森素数还有一些出人意料的应用。
为什么运动员要努力跑得比别人更快,跳得更高,标枪投得更远?仅仅是出于对获胜的渴望。
这种竞争精神并不是为了他人。就如攀岩者被险峻悬崖吸引,登山者渴望山峰。
而梅森素数猎人们,就如同登山者。
他们对人类最大的贡献,并非仅仅体现在实用层面,而是滋养了人类的求知欲望和探索精神。
如果我们失去这种追求卓越的渴望,还能算是真正完整的人吗?
自电子计算机时代开始,寻找素数的程序就被用作硬件测试工具。
例如,英特尔会在出货前使用GIMPS项目的软件程序来测试奔腾II和奔腾Pro处理器。而著名的奔腾bug,就是在Thomas Nicely计算孪生素数常数的相关研究中被发现的。
为什么素数程序会被这样使用呢?这是因为它们对CPU和总线要求极高,且程序相对简短,并能够轻易验证答案。在后台运行的同时,亦可进行其他「更重要」的任务。
尽管数学不是一门实验科学,但数学家们经常会寻找具体的例子来验证猜想,并希望能在之后证明它们。
随着研究实例数量的增加,我们对其数学分布的理解也会相应加深。著名的素数定理(Prime Number Theorem)就是数学家们通过仔细研究素数表而发现的。
一些看似简单的计算帮助人们发现了一些有趣模式,比如素数竞赛(Prime Number Races),这些发现催生了大量深入的研究工作。
也有一些人仅仅为了奖金。
毕竟15万美元和20万美元,也是不小的数目了。
参考资料:
https://gizmodo.com/nvidia-computer-finds-largest-known-prime-blows-past-record-by-16-million-digits-2000514948
https://www.mersenne.org/why_join/
https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841
文章来自于微信公众号“新智元”