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本科经典算法Dijkstra,被证明是普遍最优了:最坏情况性能也最优!
2492点击    2024-10-27 14:56

时隔近70年,那个用来解决最短路径问题的经典算法——Dijkstra,现在有了新突破:


被证明具有普遍最优性(Universal Optimality)。


什么意思?


这就意味着不论它面对多复杂的图结构,即便在最坏情况下都能达到理论上的最优性能!


而且这还是学术界首次将这一概念应用于任何序列算法。


图源:Quantamagzine


对于Dijkstra算法,想必很多人肯定不会陌生,毕竟它是每个计算机本科生必学的内容。


而且从它诞生至今,已经在广泛地应用于我们的日常生活中,例如在谷歌地图苹果地图,Dijkstra算法就被用来计算从用户当前位置到目的地的最优路线。


在计算机网络中,被广泛应用于路由协议中;例如开放最短路径优先(OSPF)协议就是基于Dijkstra算法来计算网络中数据包的最优传输路径。


再如通信网络设计机器人路径规划物流运输优化等领域,也是处处都有它的身影。


(相关教程可参考:https://www.youtube.com/watch?v=EFg3u_E6eHU)


而这项集结了苏黎世联邦理工、CMU、普林斯顿等顶尖高校科研人员之力的研究,一举让这个经典算法达到了前所未有的高度。



哥伦比亚大学计算机科学家Tim Roughgarden在看完论文后直呼:


这也太神奇了,我无法想象还有比这更吸引人的研究。


据悉,这篇论文已经斩获下周即将举办的理论计算机顶会FOCS 2024(计算机科学基础研讨会)的最佳论文



一言蔽之,现在的Dijkstra算法,已经被证明是解决单源最短路径问题的“近乎理想”的方法。


那么这项研究又是如何证明和优化的呢?


70年经典算法新突破


首先,我们先通过一个例子,简单回顾一下Dijkstra算法。


如下图所示,Dijkstra算法寻找最短路径的方法,大致可以分为四步:


1.从起点出发:选择起点A。计算从A到邻近点的距离,例如到B的距离为1,到C的距离为5。选择较短的路径,即先前往B。


2.继续探索:从新的点(B)继续查找邻近点的距离,并将这些距离加上从A到B的距离。例如,从A到B的距离是1,B到D的距离是1,因此A到D的总距离为2(1 + 1 = 2)。更新已知的最短路径。


3.记录新的最短路径:在探索过程中发现更短的路径时,更新记录。例如,A到C的原始距离是5,但通过B和D的路径到C的总距离是3(1 + 1 + 1 = 3),比原来的距离短,因此更新A到C的距离为3。


4.重复步骤,直到覆盖所有点:算法继续遍历,直到所有节点的最短路径都被确定。每次优先选择距离最短的路径进行下一步计算,逐步优化到每个点的最短路径。


图源:Quantamagzine


最终,Dijkstra算法可以快速找到网络中从起始点到其他所有节点的最短路径。


在最初的Dijkstra算法论文中使用到了一个简单且关键的数据结构——堆(Heap),而这就为后来的计算机科学家们留下了改进的余地。


例如1984年,两位计算机科学家设计了一种巧妙的堆数据结构,使得Dijkstra算法在解决单源最短路径问题所需的时间上达到了理论极限或“下限”。


从某种特定意义上说,这个版本的Dijkstra算法已经可以说是最好的,也是近40年来的一种“标准”。


而这次的最新论文,研究人员的突破口依旧是这个堆数据结构。


因为他们发现,像Fibonacci堆等常用的数据结构虽然在理论上具有较好的最坏情况时间复杂度(Worst-case time complexity),但在很多情况下未能充分利用图的局部结构特性。


这就导致在处理某些类型的图时,仍然需要高昂的计算代价。


但如果在1984年设计的堆基础上加入对最近插入项快速访问的能力,就可以显著提升算法的效率。


为此,研究人员提出了一种全新的堆数据结构——具备特殊的 “工作集属性”(Working Set Property) 。


所谓 “工作集属性” ,指的是堆能够充分利用操作的局部性,从而优先处理最近插入的元素,降低提取最小元素的成本。


这个概念类似于我们在管理待办事项时,会优先处理那些刚刚添加的紧急任务,从而更高效地完成工作。


若是用公式化的表述,就如下图所示。


对于在堆中插入并随后被提取的任意元素x,其工作集Wx包括了在x被插入后、在x被提取前插入的所有元素,以及x本身。



借助这种“工作集属性”,新设计的堆数据结构能够显著提升Dijkstra算法的整体性能,尤其是在具有局部性特征的图上。


也成功使Dijkstra算法具备了普遍最优性,不仅在最坏情况下具有最优性,还能在任何图结构上表现出色。


不仅如此,这项工作还提供了精确的复杂度分析


例如,作者证明了Dijkstra算法在具有工作集属性的堆上的比较次数是O(OPTQ(G)+n+max⁡w∈WG∣FG,w∣)。


其中,OPTQ(G)是解决距离排序问题的最优算法所需的比较次数,n是顶点数,∣FG,w∣是前向边的数量。


这也为算法的性能提供了更精确的界限。



总而言之,这些成果不仅推动了图算法的研究,也为实际应用中的算法设计提供了新的视角和工具。


喝咖啡时诞生的算法


关于Dijkstra算法诞生的故事,其实是始于一次意外的灵感。


1956年,年仅26岁的荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra当时正试图为一台新型计算机ARMAC编写一个程序,来展示它的计算能力。



有一天,他和未婚妻在阿姆斯特丹购物时走进了一家咖啡馆,正是在休息的片刻中,Dijkstra突然有了灵感,想出了一个计算最短路径的算法。


没有纸和笔的情况下,他花了大约20分钟在脑海中推演出了这个算法的细节。


正如他在晚年一次采访中所说的那样:


没有纸笔的情况下,你几乎被迫避免所有可以避免的复杂性。


也正是这种简洁和优雅,使得Dijkstra算法在随后的几十年里成为计算机科学领域的经典。


Edsger Dijkstra可以说是一位极具影响力的计算机科学家,他不仅以其最短路径算法闻名,还对计算机科学的许多基础领域做出了开创性的贡献。


Dijkstra出生于1930年,父亲是一位化学家,母亲是一位出色的数学家。


1951 年,Dijkstra在父亲的建议下前往剑桥参加了一门为期三周的编程课程,这次经历改变了他的职业轨迹。


在此期间,他遇到了著名的数学家和计算机科学家Adriaan van Wijngaarden,并由此获得了在阿姆斯特丹数学中心(Mathematical Centre)的工作机会。


Dijkstra是荷兰首位以“程序员”身份被雇佣的人,1956年完成学业后,他继续在数学中心工作,并于1959年发表了他的著名论文A Note on Two Problems in Connexion with Graphs



这篇论文介绍了他提出的最短路径算法,后来成为了计算机科学中引用次数最多的论文之一


尽管Dijkstra的算法十分优雅,但当时几乎没有计算机科学期刊,发表过程十分困难,最终他选择将其发表于新创刊Numerische Mathematik上。


Dijkstra在职业生涯中赢得了极高的声誉,并于1972年获得计算机科学领域最负盛名的图灵奖。


他不仅在编程语言、操作系统和并发控制等领域做出了许多基础性贡献,还以其对编程方法学的深入思考而著称。


他强调程序的正确性,认为程序应该从一开始就正确地设计,而不是通过调试来达到正确。


不过与此同时,Dijkstra的性格也非常独特,他既被赞赏也被批评,是一位充满争议的人物。


他对于计算机科学的教育和研究有着强烈的观点,常常发表极具挑战性的言论。


例如,他反对使用goto语句,并在1968年发表了著名的文章Go To Statement Considered Harmful,这篇文章引发了广泛的争议,但最终他的观点得到了普遍认可。



Dijkstra算法不仅可以计算从起始点到一个目的地的最短路径,还可以给出从起始点到所有其他节点的排序,这正是单源最短路径问题的解决方案。


它的核心思想是不断探索当前距离最短的路径,更新每个节点的最短距离,直到所有节点的距离都确定下来。


这种算法的简洁性和高效性使得它成为经典的路径规划工具。


麻省理工学院的计算机科学家Erik Demaine曾评论道:


这是一个伟大的算法,速度非常快,简单易实现。


但算法的成功不仅归功于其核心思想,还离不开数据结构的选择,在几十年的发展中,研究人员不断改进堆数据结构,使得算法的整体性能不断提升。


而这一次,改良堆数据结构,可以说是再次立功了。


论文地址:


https://arxiv.org/abs/2311.11793


参考链接:


[1]https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-establish-the-best-way-to-traverse-a-graph-20241025/


[2]https://inference-review.com/article/the-man-who-carried-computer-science-on-his-shoulders


文章来自于微信公众号“量子位”,作者“金磊”


关键词: AI , Dijkstra , AI学术 , 人工智能