陶哲轩发起的「众包」数学研究项目终于快要迎来胜利时刻!
大约在三周前,陶哲轩提出了一个众包项目,结合专业和业余数学家、自动定理证明器、AI 工具和证明辅助语言 Lean, 来描述与 4694 条 magma(原群) 方程定律相关的蕴含图,这些定律可以使用最多四次 magma 操作调用来表达。也即,需要确定这 4694 条定律之间可能蕴含的的真假。
该项目已运行 19 天,从已解决的原始蕴含的角度来看,该项目(截至撰写本文)已完成 99.9963%:待解决的蕴含中,已被证明为真,已被证明为假,只有悬而未决。尽管在这个集合中,也有蕴含推测为假,但可能很快就正式反驳。
出于编译效率的原因,他们没有在 Lean 中记录这些推测中的每一个证明;只在 Lean 中证明一组较小的蕴含,然后通过传递性来暗示一组更广泛的蕴含(例如,使用以下事实:如果方程 X 蕴含方程 Y,且方程 Y 蕴含方程 Z,则方程 X 蕴含方程 Z);他们还将很快利用蕴含图的对偶对称性实现进一步简化。
除了感谢众多志愿者为该项目付出的不懈努力,陶哲轩表示现在拥有许多出色的可视化工具来检查(尚未完成的)蕴含图的各个部分。例如,下图描绘了方程 1491:的所有结果,陶哲轩将其昵称为「Oberlix 定律」(它有一个「同伴」——Asterix 定律,即方程 65:)。
下面是正在研究的所有方程定律的表格,以及它们蕴含或被蕴含的定律数量。这些界面也与 Lean 有某种程度的集成:例如,你可以单击来尝试证明 Oberlix 定律蕴含方程 359,;陶哲轩将此留作一个挑战(Lean 中可以进行四行证明)。
过去几周,陶哲轩了解到其中许多定律以前都出现在文献中,并在下图项目中对这些方程进行介绍。例如,除了非常著名的交换律(公式 43)和结合律(公式 4512)之外,一些方程(比如公式 4、公式 29、公式 381、公式 3722 和公式 3744)出现在一些 Putnam 数学竞赛中;公式 168 定义了一个有趣的结构,被称为「中心群」,学者 Evans 和 Knuth 对其进行了研究,并成为 Knuth-Bendix 完成算法的主要灵感来源;公式 1571 对指数为 2 的阿贝尔群进行了分类。
方程汇总地址:https://github.com/teorth/equational_theories/wiki/Tour-of-selected-equations
陶哲轩表示 Birkhoff 完备定理起了大作用,如果一个方程定律蕴含另一个,那么可以通过有限次数的重写操作来证明,但是所需要的重写次数可能相当长。上面提到的从 方程 1491 推导出 359 的蕴含已经相当有挑战性,需要重写四五次;从方程 1681 推导出 2 的蕴含非常长。尽管如此,标准自动定理证明器(例如 Vampire)完全能够证明这些蕴含中的绝大多数。
更微妙的是反蕴含,他们必须证明一条定律 X 并不蕴含另一条定律 Y。原则上,他们只需展示一个服从 X 但不服从 Y 的 magma。在很大一部分情况下,他们可以简单地搜索小的有限 magma(例如两个、三个或四个元素的 magma)来获得这种反蕴含。但它们并不总是足够的,事实上,他们知道只有通过构造无限的 magma 才能证明反蕴含。
例如,现在已知「Asterix 定律」并不蕴含「Oberlix 定律」,但所有反例必然是无限的。奇怪的是,已知的构造与集合论中著名的强迫技术有某种相似之处,因为他们不断地将「通用」元素添加到(部分)magma 中, 以强迫存在具有某些特定属性的反例,尽管这里的构造肯定比集合论的构造简单得多。
他们还从交换和非交换环中的「线性」magma 构造中获得了可观的收益,比如与「合流」方程定律相关的自由 magma,以及更普遍的具有完整重写系统的定律。因此,未解决的蕴含数继续稳步减少,不过还没有到宣布该项目胜利的时候。
虽然该项目仍在进行中,但陶哲轩对迄今为止取得的进展感到非常满意,而且对该项目的许多希望已经实现。
在科学方面,他们发现一些新技术和构造,可以证明给定的方程理论并不蕴含另一个方程理论,并且还发现一些奇特的代数结构, 如「Asterix」和「Oberlix」,它们具有有趣的特征。除了此处进行系统搜索之外,其他任何方式都可能无法发现它们。参与者非常多样化,包括各个职业阶段的数学家和计算机科学家、以及感兴趣的学生和业余爱好者。Lean 平台在整合人类生成和机器生成的贡献方面效果很好,后者在是迄今为止最大的贡献来源,但许多自动生成的结果首先由人类在特定情况下获得,然后被泛化和形式化(通常由项目的不同成员完成)。
他们仍在提出许多非正式的数学论证,但它们往往在 Lean 中被迅速形式化,此时关于正确性的争议就会消失,从而专注如何最好地部署各种经过验证的技术来解决剩下的问题。
也许陶哲轩目前唯一期待但尚未看到现代 AI 工具的重大贡献,它们正在以多种次要方式应用于该项目,例如通过 GitHub Copilot 等工具来加速编写 Lean 证明、LaTeX 蓝图和其他软件代码。此外一些可视化工具也主要使用 Claude 等大型语言模型共同编写。
对于解决蕴含这一核心任务,更「老式」的自动定理证明器迄今为止已被证明更为优越。然而,剩余 700 个左右蕴含中的大多数都不适合这些旧工具,尤其涉及 Asterix 和 Oberlix 的蕴含让人类合作者困惑了好几天。所以仍然希望看到现代 AI 在完成剩余蕴含中最难、最顽固的部分发挥更积极的作用。
文章来自于“机器之心“,作者”杜伟“。
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