Copilot上大分，仅数天，陶哲轩的估计验证工具卷到2.0！刚刚又发数学形式化证明视频

本周二，我们报道了菲尔兹奖得主陶哲轩的一个开源项目 —— 在大模型的协助下编写了一个概念验证软件工具，来验证涉及任意正参数的给定估计是否成立（在常数因子范围内）。

在项目中，他开发了一个用于自动（或半自动）证明分析中估计值的框架。估计值是 X≲Y（在渐近记法中表示 X=O (Y)）或 X≪Y（在渐近符号中表示 X=o (Y)）形式的不等式。

这才几天的时间，这个估计验证工具的 2.0 版本就来了！

陶哲轩对该工具进行了两次全面改进。

首先，他将其改造成一个基础的证明助手（proof assistant），同时能够处理一些命题逻辑；接着，他根据评论者的反馈，将其改造成一个更加灵活的证明助手（在几个关键方面特意模仿了 Lean 证明助手），它也由功能强大的 Python 符号代数包 sympy 提供支持。

陶哲轩认为现在得到了一个稳定的框架，并可以进一步扩展该工具。他最初的目标只是自动化（或半自动化）标量函数渐近估计的证明，但原则上可以继续向该工具添加策略、新的 sympy 类型和引理，以处理范围广泛的其他数学任务。

该证明助手的 2.0 版本已经上传到了 GitHub。同样地，与自己以前的编码一样，陶哲轩最终「严重」依赖大语言模型的帮助来理解 Python 和 sympy 的一些细节，其中 Github Copilot 的自动补全功能尤其有用。

虽然该工具支持全自动证明，但陶哲轩决定现在更多地关注半自动交互式证明，其中人类用户提供高级「策略」，然后证明助手执行必要的计算，直到证明完成。

GitHub 地址：https://github.com/teorth/estimates

根据项目简介，这是一个利用 Python 开发的轻量级证明助手，其功能远逊于 Lean、Isabelle 或 Rocq 等完整证明助手，但希望它能够轻松用于证明一些简短而繁琐的任务，例如验证一个不等式或估计是否由其他不等式或估计推导出来。该助手的一个具体目标是为渐近估计（asymptotic estimates）提供支持。

具体实现过程

下载相关文件后，即可在 Python 中启动证明助手，只需输入「from main import *」并加载一个预先制作的练习即可。以下是其中一个练习：

这是证明助手对以下问题的形式化描述：如果 x, y, z 是正实数，且 x<2y 且 y<3z+1，则证明 x<7z+2。

证明助手的工作方式是：用户指示助手使用各种「策略」来简化问题，直到问题得到解决。在本例中，该问题可以通过线性算法求解，具体形式化为「Linarith ()」策略：

如果有人想更详细地了解线性算法的工作原理，可以使用「verbose」标志（flag）来运行此策略。

有时，证明过程会涉及情况拆分，最终的证明会呈现出树状结构。这里有个例子：其务是证明假设 (x>-1)∧(x<1) 且 (y>-2)∧(y<2) 蕴涵 (x+y>-3)∧(x+y<3)：

这里，根据使用的三种策略对证明进行「伪精益」描述：策略「cases h」 1 对假设「 h1」进行情况拆分，然后在两种情况下分别应用「simp_all」策略来简化。

该工具支持渐近估计。陶哲轩找到了一种在 Sympy 中实现量级形式化的方法。事实证明，Sympy 在某种意义上已经可以原生实现非标准分析：它的符号变量有一个「is_number」标志，基本上对应于非标准分析中「标准」数的概念。

举例而言，数字 3 的「sympy」版本「S (3)」有「S (3).is_number == True」，因此是标准的；而整数变量「n = Symbol ("n", integer=true)」有「n.is_number == False 」，因此是非标准的。

在「sympy」中，他能够构建各种（正）表达式「X」的数量级「Theta (X)」，其属性「 Theta (n)=Theta (1)」如下：如果「n」是标准数，然后使用这个概念来定义渐近估计，例如

对数线性规划求解器还可以通过相当强力的「分支」方法处理低阶项。

陶哲轩计划开始开发用于估计符号函数的函数空间范数工具，例如创建一些策略来部署诸如 Holder 不等式和 Sobolev 嵌入不等式之类的引理。Sympy 框架看起来足够灵活，可以为这些类型的对象创建更多对象类。目前，他只有一个概念验证引理来说明这个框架，即算术平均 - 几何平均（arithmetic mean-geometric mean）引理。

陶哲轩最后表示，他对这个证明助手的基本框架非常满意，因此愿意接受进一步的建议或新功能的贡献，例如引入新的数据类型、引理和策略，或者一些示例问题。这些问题应该很容易被这个助手解决，但目前由于缺乏合适的策略和引理而超出了它的能力。

数学形式化证明实验纪实

而就在刚刚，陶哲轩又发了一个新项目。

他最近尝试了一个小实验：尝试利用现代自动化工具（如 GitHub Copilot 和 Lean 证明助手）来半自动地形式化一个一页纸的数学证明。这个证明来自他在 Equational Theories Project 中的合作者 Bruno Le Floch。

• 视频演示：https://www.youtube.com/watch?v=cyyR7j2ChCI讨论地址：https://leanprover.zulipchat.com/#narrow/channel/458659-Equational/topic/Alternative.20proofs.20of.20E1689.E2.8A.A2E2GitHub 链接：https://github.com/teorth/estimate_tools/blob/master/EstimateTools/test/equational.lean

陶哲轩尝试「盲做」这个证明，即不真正理解证明结构的前提下，直接用工具去拼出形式化过程。他用约 33 分钟完成了形式化过程。对他来说，这是一种很不一样的工作方式 —— 不靠对整个证明的大局理解，而是完全依赖于工具处理逻辑细节。

在 Zulip 讨论中，Bruno Le Floch 最初指出，在论文中「E1689-E2 的所有已知证明都是计算机辅助」这一说法太绝对了。他自己后来给出了一个更具可读性的「人类版本」，虽有些步骤灵感来自 prover9，但整体不应算作纯计算机证明。

陶哲轩回应：那我们可以更新 blueprint，并在论文中注明我们在项目中得到了一个非计算机生成的版本。

故事就此开始，陶哲轩选择做一个实验。「我尝试完全基于 Bruno 的草稿，一步步进行形式化，过程非常依赖 Copilot 和 Lean 的 canonical 策略。」他将原稿拆解成细小逻辑单元，让工具处理约一半细节，剩下的由自己手动填补，完成了一个可以通过验证的 Lean 形式化证明，还录了视频上传到 YouTube。

实际证明， 虽然这种方法看起来有点机械，但对于结构不强、以技术推导为主的证明，是有效的。AI 工具可以代劳大量繁琐推理，让人专注于「如何表达」而不是「是否合理」。

这场实验还暴露出一些 Lean 项目协作工具的问题。目前项目使用的 blueprint 工具只支持每个命题绑定一个证明版本。如果要同时记录人类证明和 AI 生成的版本，会发生覆盖，管理混乱。

如果你对这个话题感兴趣，建议直接查看 Zulip 讨论区，了解更多一线协作细节。

文章来自微信公众号 “ 机器之心 ”